График линейной функции, его свойства и формулы

Уравнения [ править | править код ]

Пусть a — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах [2] :

• В прямоугольных координатах[1] : ( x 2 + y 2 + 2 a x ) 2 − 4 a 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 +y^2>+2ax)^2>-4a^2>(x^2>+y^2>),=,0>2>

• В прямоугольных координатах (параметрическая запись): x = 2 a cos ⁡ t − a cos ⁡ 2 t y = 2 a sin ⁡ t − a sin ⁡ 2 t

• В полярных координатах[2][1] : r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ )

Свойства линейной функции

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b: b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная; b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная; b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида; b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
7. График функции пересекает оси координат: ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0); ось ординат OY — в точке (0; b).
8. x=-b/k — является нулем функции.
9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.
11. При k > 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, -b/k) и положительные значения на промежутке (-b/k, +∞) При k < 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-b/k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, -b/k).
12. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

Есть два частных случая линейной функции:

• Если b = 0, то уравнение примет вид «y = kx». Такая функция называется прямой пропорциональностью. График — прямая, которая проходит через начало координат.

• Если k = 0, то уравнение примет вид «y = b». График — прямая, которая параллельна оси Ох и проходит через точку (0; b).

Свойства [ править | править код ]

• Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля
• Кардиоида является частным случаем синусоидальной спирали
• Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Кардиоида имеет один касп.
• Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах

r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) равна: L = 2 ∫ 0 π r ( φ ) 2 + ( r ′ ( φ ) ) 2 d φ = ⋯ = 8 a ∫ 0 π 1 2 ( 1 − cos ⁡ φ ) d φ = 8 a ∫ 0 π sin ⁡ ( φ 2 ) d φ = 16 a ^+(r'(varphi ))^2>>>;dvarphi =cdots =8aint _2>0>^>(1-cos varphi )>>;dvarphi =8aint _2>1>0>^sin(>)dvarphi =16a>

• Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах

r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) равна: S = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π ( r ( φ ) ) 2 d φ = ∫ 0 π 4 a 2 ( 1 − cos ⁡ φ ) 2 d φ = ⋯ = 4 a 2 ⋅ 3 2 π = 6 π a 2 1>2>>int _2>0>^>;dvarphi =int _2>0>^(1-cos varphi )^2>>;dvarphi =cdots =4a^2>cdot 3>2>>pi =6pi a^2>>.

Радиус кривизны любой линии:

ρ ( φ ) = [ r ( φ ) 2 + r ˙ ( φ ) 2 ] 3 / 2 r ( φ ) 2 + 2 r ˙ ( φ ) 2 − r ( φ ) r ¨ ( φ ) .

2>+>(varphi )^2> ight]^>+2>(varphi )^2>-r(varphi )>(varphi )>> .>

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

r ( φ ) = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) = 4 a sin 2 ⁡ φ 2 ,

2>2>>,> ρ ( φ ) = ⋯ = [ 16 a 2 sin 2 ⁡ φ 2 ] 3 2 24 a 2 sin 2 ⁡ φ 2 = 8 3 a sin ⁡ φ 2 . sin ^2>2>>]^3>2>>>sin ^2>2>>>>=>asin 3>8>2>> .>

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

• если k > 0, то график наклонен вправо;
• если k < 0, то график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

• если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
• если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Начертим три графика функции: y = 2x + 3, y = 1/2x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = -1/2x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

• график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
• график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
• график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 * k2 = -1 или k1 = -1/k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

• С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b. Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
• С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = -b/k. Координаты точки пересечения с осью OX: (-b/k; 0)

История [ править | править код ]

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè

, 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как
Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon
).

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire

), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (
J. Koersma
, 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

Один и один — получается два. Все одиноки — здесь ты, а там я. Люди всегда одиноки вдвойне сами с собою наедине. Если б их что-то сблизить могло, сразу б из двух получилось одно. Пусть математика сложит сердца — чтобы проделать нам путь до конца.

Уильямс Джей, «Герои Ниоткуда»

Вероятно, пост следовало назвать «Как нарисовать анимированное сердечко ко дню Святого Валентина, используя математику не по назначению». Я отверг это название в пользу более поэтичного: как-никак, надвигается замечательный романтический праздник, который мы, айтишники и прочие нёрды, должны встретить во всеоружии. Я сразу покажу вам результат, а под хабракатом будет много букв о том, как я этого результата достиг.

Дисклеймер

Я осознаю, что красивое мигающее сердечко можно сделать и без малейшего знания математики. Но разве это интересно?

Шаг 1. Параметризуем сердечко.

Для начала нам нужен математический объект, хотя бы отдалённо напоминающий сердечко. К счастью, для меня этот шаг был тривиален: ещё пару лет назад я обнаружил замечательную формулу как раз для такого случая (из эстетических соображений график на рисунке растянут по горизонтали, на самом деле он должен умещаться между -1 и 1).

Формула была обнаружена из следующий соображений: возьмём обыкновенную окружность и представим, что она состоит из желе, будучи при этом жёстко прикреплена к оси ординат. Теперь «подуем» на неё снизу: прибавим к координате игрек некую функцию w(x) = w(x(t)), равную нулю при x=0, монотонно возрастающую при x>0 и чётную по x. После такого «дуновения» половинки окружности сместятся вверх, образуя «выпуклости» сердечка, а благодаря жёсткому креплению к оси Y образуется нижний «хвостик» и верхняя «вмятинка». В данном случае w(x(t)) = |x| 1/2 = |cos(t)| 1/2 . Можете самостоятельно попробовать другую «функцию дуновения» и посмотреть, что из этого выйдет.

Шаг 2. От параметрического задания к неявной функции.

x = cos(t) y = sin(t) + |cos(t)| 1/2 y — |x| 1/2 = sin(t) (y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 = 1 f(x,y) = (y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 — 1 = 0

Шаг 3. От неявной функции к функции двух переменных. Функция цвета.

Имея на руках f(x,y), мы наконец можем осуществить свою мечту: нарисовать красивую цветную картинку. Для этого нам понадобится ещё одна функция: функция цвета. Она должна принимать вещественный аргумент r и возвращать целое значение от 0 до 255. Также желательно, чтобы она была монотонна на каждой полуоси и имела максимум в точке нуль. В качестве такой функции можно взять, например, эту:

Здесь 100 — «магическое число», позднее мы его в полном соответствии с «хорошим стилем программирования» заменим параметром. Теперь для каждой точки (x,y) мы можем задать цвет как rgb(c(f(x,y)), 0, 0). Те точки, которые раньше принадлежали непосредственно графику «сердечка», стали ярко-красными (обратите внимание на неподвижный светлый контур на гифке). По мере удаления от графика цвет будет тускнеть, пока на некотором расстоянии от него не станет чёрным.

Шаг 4. Добавляем параметр, создаём анимацию.

Теперь заменим магическое число 100 параметром k. Новая функция цвета выглядит так:

Пусть k — это некоторая функция времени. Тогда для каждой точки изображения в каждый момент времени мы можем вычислить её цвет (что и является, по сути, математическим определением анимации). Сначала я хотел взять что-нибудь типа k(t) = 80(sin(t)+1). Потом, однако, я понял, что при большом количестве кадров гифка будет весить более 640 килобайт. С другой стороны, при малом количестве кадров нет смысла заморачиваться с аналитическим заданием k(t). В итоге, чтобы добиться пульсирования сердца, я последовательно присвоил k значения 80, 90, 100, 110, 120, 110, 100, 90, а затем изображения, сгенерированные для этих значений, объединил в циклический GIF. В общем-то, всё.

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Идеальное сердце. Математикам на заметку

С лекции по анатомии, например.

Поясняю: в норме у человека пульс меняется. Всегда. ЧСС меняется +- несколько ударов в минуту за каждые несколько секунд — поставьте себе постоянный измеритель и поймёте, о чём я. Всего 2 недели назад мерил в течение 2 суток, потому, поверьте, я знаю, о чём я говорю.

В случае инфаркта I-й водитель ритма (в терминологии могу чуть косячить, никогда с ней в ладах не был) отключается, работает II-й (вторичный), который задаёт исключительно ровный пульс, уже не зависящий от состояния организма) Есть ещё III-й, третичный, водитель ритма (забыл, какая это система), но он не может поддерживать пульс выше 30 ударов в минуту, а потому в случае её работы человек обычно лежит без сознания. Это если отказал II-й, более устойчивый. III-й же почти неуязвим сам по себе.

Говорю же, хорошо. верю

Спасибо, товарищ врач, но это для меня уже как об стенку мясом)) я не врач(( Если только гляну готовую кардиограмму, мб и соображу. На деле, думаю, стоило бы попрактиковаться, но пока не приходилось по учёбе. Не то направление)

Да, точно. Эти узлы и пучок Гиса.

5 + (-sqrt(1-x^2-(y-abs(x))^2))*cos(30*((1-x^2-(y-abs(x))^2))), x is from -1 to 1, y is from -1 to 1.5, z is from 1 to 6

(x^2+(9 y^2)/4+z^2-1)^3-x^2 z^3-(9 y^2 z^3)/80 = 0

Создана математическая модель, позволяющая узнать судьбу человека

Российские ученые вывели математическую формулу сердца. Благодаря этим уравнениям можно высчитать, спрогнозировать и предотвратить любое сердечное заболевание. То есть, по сути, узнать и изменить судьбу человека. Единственная в России лаборатория математической физиологии действует при Екатеринбургском Институте иммунологии и физиологии. Член-корреспондент Академии наук РФ Владимир Мархасин уже 25 лет занимается математическими разработками в «сердечной» области.
— Проблема математических описаний физиологических функций организма – вторая по значимости проблема после проблемы ДНК человека, — говорит Владимир Семенович. – В будущем будут вычислены формулы других органов человека, и медики с помощью элементарных уравнений смогут прогнозировать и лечить любую болезнь!

— Человек, по сути, сложнейший механизм, в котором непрерывно происходят физические и химические процессы, — продолжает математик. — Если все эти процессы перевести на язык уравнений, то в будущем можно будет вывести единую формулу человека!

Функции и их графики

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

«Чем дальше в лес, тем больше дров»

. График представит количество дров как функцию пути [6].

«Каши маслом не испортишь».

Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне [5].

Функции в экономике

Широко применяются графики в экономике, в частности, кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

В течение последних нескольких месяцев страны мира находятся в состоянии финансово — экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Нас заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика —

наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.

Экономический рост в России в начале 2000-х годов в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный [8].

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

.

Заключение

Понятие функции является одним из основных понятии математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический характер».

Работа и мощность сердца. Аппарат искусственного кровообращения

Работа, совершаемая сердцем, затрачивается на преодоление сил давления и сообщение крови кинетической энергии.

Рассчитаем работу, совершаемую при однократном сокраще­нии левого желудочка. Изобразим
Vу
— ударный объем крови — в виде цилиндра (рис. 9.9). Можно считать, что сердце продавлива­ет этот объем по аорте сечением
S
на расстояние
l
при среднем давлении
р.
Совершаемая при этом работа

На сообщение кинетической энергии этому объему крови за­трачена работа

где r — плотность крови,u

— скорость крови в аорте. Таким обра­зом, работа левого желудочка сердца при сокращении равна

Так как работа правого желудочка принимается равной 0,2 от ра­боты левого, то работа всего сердца при однократном сокращении

Формула (9.17) справедлива как для покоя, так и для активно­го состояния организма. Эти состояния отличаются разной скоро­стью кровотока.

Подставив в формулу (9.17) значения
р
= 13 кПа,
Vy =
60 мл = 6 • 10 -5 м 3 , r = 1,05 • 10 3 кг/м 3 ,
u =
0,5 м/с, полу­чим работу разового сокращения серд­ца в состоянии покоя:
Al »
1 Дж. Счи­тая, что в среднем сердце совершает одно сокращение в секунду, найдем работу сердца за сутки:
Ас
= 86 400 Дж. При актив­ной мышечной деятельности работа сердца может возрасти в несколько раз.